د. محمد شطب
الأحد 23/2/ 2009
الأَرقام والأَعْدَاد
د. محمد شطب
الرَقْم: الجمع أَرْقام ورُقُوم: الختم، ضربٌ مخطَّطٌ من الوشي او البُرُود.(1)
الأَرقام هي علامات أو إشارات أو رموز تُسْتَخْدَم للتعبير عن الأعداد، إستخدمتها الشعوب منذ القدم مثلما إستخدمت البكتوغرامات والإيديوغرامات والحروف للإيفاء بمدلولات معينة، أما العدد فإنه يشير الى مقدار معين أو كميَّة معينة، وهذا يعني بأن الأرقام هي ليست أعداداً وإنما هي رموز تُكْتَبْ بها الأعداد المستخدمة في هذه أو تلك من اللغات، فحين نريد أن نرمز للعد 4 نستخدم الرقم 4 وحين نريد أن نرمز للعدد 28 نستخدم الرقمين 8 و 2، فهذان الرقمان يشيران الى العدد 28، بمعني أن الأرقام وبشكل عام من الصفر إلى ال 9 يمكن أن تُسْتَخْدَم كأعداد أيضاً، إذا أُريد من خلالها التعبير عن قيمة عدديَّة، وحين يتجاوز عدد الأرقام المستخدمة مرحلة الآحاد فإنها لم تعد أرقاماً وإنما أعداداً، حيث أنَّ كل ما يتكون من رقمين فما فوق هو عدداً وليس رقماً، وهكذا فإن الأرقام ما هي إلا إشارات للتعبير عن الأعداد، وليست أعداد، ويمكن الإستدلال على ذلك من كون الأرقام تستخدم في لغات مختلفة، وفي كل لغة لها ألفاظ تنسجم مع الفاظ هذه أو تلك من اللغات التي إستخدمتها، فهي تعبر عن نفسها من خلال كونها نقوش أو رسوم وليست ألفاظ، ومن جانب آخر ليس للأرقام قيم حسابيه كما هو الحال بالنسبة للاعداد، وإن عدد أرقام أية منظومة رقميَّة محدود، فهي عند السومريين رقمان فقط، وعند شعوب المايا ثلاثة أرقام، وعند قدماء المصريين سبعة أرقام، وفي اللاتينية ستة أرقام، وأكبر منظومة رقميَّة هي المنظومة العربية ـ الهنديَّة، التي تتألف من عشرة أرقام (0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9)، بينما الأعداد التي يمكن أن تُكْتَب بها أية مجموعة من هذه الأرقام فهي لا نهاية لها. ويمكن مقارنة الأرقام والأعداد بالحروف والكلمات، فالرقم هو عبارة عن إشارة فقط ما لم تكن لديه قيمة عددية، كما هي الحروف، إذا إنطلقنا من كون ما يندرج تحت مفهوم الحَرْف، كل ما يدل على معنى غير مستقل بالفهم، فالحروف عبارة عن إشارات فقط ولا تتحول إلى كلمات ذات معان إلا بعد أن تدمج مع بعضها البعض، وهناك حروف لها معان الكلمات كما هو الحال مع الحرف (I) في اللغة الإنكليزيَّة، الذي يعني كلمة "أنا"، كما للأرقام من الصفر إلى ال 9 قيم عدديَّة أيضاً. وهنا تجدر الإشارة إلى أنَّ عدد من الشعوب إستخدمت في أنظمتها الرقميَّة الحروف للتعبير من خلالها عن الأعداد.
النُمَر: الواحدة منها نُمْرَة (مأخوذة من اللغة الإيطالية)وهي اعداد يرقمونها على البضائع لتعرف كيفياتها أو مقاديرها.
يبنون من هذا اللفظ فِعلاً فيقولون ((نَمَّرَ الدفاتِر)) اي رقَّمها ورسم عليها النُمَرُ. (2)
العَدَد: الجمع أَعْدَاد: اِسْم مِن عَدَّ بمعنى الإِحصاء (المنجد ص 490)، ومنها
العَدَد الصَحيح: مؤَلف من وحدات مثل 1،2،3 وتُسْتَعْمَل لفظة العَدَد بمعنى الصحيح منه وتأتي بمعنى الوحدة، كقولهم ثلاثة من العدد
العَدَد الصحيح: ويقال له الزوج او المزدوج: هو الذي ينقسم على 2 دون بقيَّة مثل 4، 12
العَدَد المفرد: هو عكس الزوج مثل 3، 5.
العَدَد الأَوليّ او الأَوَّل او الأَصليّ: لا ينقسم إلا على نفسه وعلى واحد مثل 11، 13
العَدَد الكَسريّ او الكسر: جزء او أَجزاء من الوحدة مثل ½ ، ¾
العَدَد الموجَب: هو المسبوق بالاشارة (+)
العَدَد السالب او السلبيّ: هو المسبوق بالاشارة (-)
العَدَد التَخيُّليّ او الوهميّ: عدد مثل ب + ج ن، حيث ب ج جبريّان و ن جذر -1 التربيعي
العَدَدان المتناظران او المتقابلان: هما عددان لهما قيمة حسابية واحدة ويختلفان بالاشارة مثل +5، -5
العَدَدان الأَوليّان: ليس لهما قاسم صحيح مشترك مثل 4، 9
الاعداد المتباينة عند العرب: لا يعدُّها معاً كسر او صحيح وإِلاّ فهي مشتركة
الاعداد الموجَّهة او الجبريَّة: اعداد حسابيَّة مسبوقة بإحدى الاشارتين (+) او (-) ويُضم اليها العدد صفر.
وتطول القائمة، حيث يمكن إضافة الأعداد التالية إليها:
الأعداد التامة: كل عدد يتساوى مجموع عوامله مع العدد نفسه، يسمى تاماً، وأصغر الأعداد التامة 6، فمجموع عوامله 1،2،3 يساوي 6.
الأعداد الزائدة: كل عدد مجموع عوامله أكبر منه، مثل العدد 12، الذي مجموع عوامله (1،2،3،4،6) والتي مجموعها يساوي 16، أي أكبر منه.
الأعداد الناقصة: كل عدد مجموع عوامله أصغر منه، مثل العدد 10، الذي مجموع عوامله (1،2،5) والتي مجموعها يساوي 8، أي أصغر منه.
ومثلها الأعداد المتحابَّة، والعدد الذريّ، والكتليّ، والماخيّ، والمركَّب وغيرها.(3)
وبتطور العلوم وبخاصة الرياضيات والفلك والهندسة والجبر والمثلثاث والعلوم الإلكترونيَّة والفيزياء وما تفرع من هذه العلوم من أنظمة مختلفة مثل اللوغارتمات والتفاضل والتكامل وغيرها أُلحِقَت صفات جديدة بالأعداد لتمكينها من التعبير عن هذه التطورات. وبشكل عام يمكن القول بأنَّالأعداد هي مواضيع مجردة تستخدم في علوم الحساب والرياضيات والهندسة وغيرها من العلوم الأخرى لأغراض الإحصاء والتنظيم والقياس.
كانت الأعداد ولا تزال وستبقى مصدر إشعاع قوي في حياة الفرد والمجتمع، وحين يتم التعامل معها بشكل علمي وموضوعي فإنها تسهل لنا تحديد مهامنا في الحياة وتفتح أمامنا طرق التغيير والتطور نحو آفاق المستقبل، وبالإعتماد عليها يتم أيضاً تحديد حجم المصاعب والمشاكل التي تواجهنا وبالتالي فهي تساعدنا في وضع الحلول اللازمة لها.
التطور هو قانون الحياة.
العدد هو قانون الكون. (فيثاغورس)
للأعداد كما هو الحال بالنسبة للحروف، حكايتها وتأريخها، وبالتالي ظهورها وتطورها وإنتشارها مع تعدد وتنوع الشعوب وتطورها ورقيّها. ففي البدء إستخدم الإنسان إشارات أو علامات أو رموز بسيطة ليستدل من خلالها على أعداد الأشياء التي أراد الإشارة لها، فإستخدم الخط البسيط أو الحَزّ أو الحفر على العظام والألواح الخشبيَّة والطينيَّة وغيرها، أو العقدة على الحبال، وكرر هذا دون أن يعتمد نظاماً معيناً، ثم إبتدع الأرقام لذلك، وكان إبتداع الأرقام يعبر بحد ذاته عن إنجاز عظيم توصل إليه الإنسان للتفريق بين الشيء المعني ومقداره أو كميته عن طريق إستخدام الأرقام، أي الرسوم التي تشير لذلك، ثم طوَّر الأنظمة الرقميَّة وما تبع ذلك من إستخدامه للأعداد وأنظمتها، وما رافق ذلك كله من تطورات شفهيَّة وتحريريَّة لأسماء الرموز والمعادلات والمفردات المستخدمة وكيفية كتابتها، بالإضافة الى ما ترتب على هذا من إنجازات ذهنيَّة فائقة للقيام بعمليات حسابيَّة بحته، يتم إنجازها بالإعتماد على الأعداد المستخدمة فقط، بغض النظر عن الإشياء التي يمكن أن ترمز لها هذه الأعداد.في البدأ تم الإعتماد على ما وفَّرته الطبيعة من إنجازعظيم يتعلق بعدد أصابع اليدين والقدمين، حيث تم إعتماد ذلك لتوفير نظام معين يمكن الركون إليه والتعامل مع الآخرين من خلاله، فقسم من الشعوب إتخذت من العدد 5 (عدد أصابع اليد الواحدة) كما هو الحال عند شعوب المايا وفي اليونان والصين، وأخرى من العدد 10 (عدد أصابع كلتا اليدين) كما هو عند السومريين والفراعنة، وأخرى من العدد 20 (عدد أصابع اليدين والقدمين) كما هو عند الهنود وشعوب المايا من الهنود الحمر في أمريكا، وتطور هذا عند السومريين ليصل إلى النظام الستيني كما سيتم التطرق لذلك كله لاحقاً، قاعدة لهم لتشييد أنظمتهم الرقميَّة والحسابية.
ومن هذه الشعوب من إخترع الصفر وإستخدمه ليس فقط في علوم الأعداد والحساب والرياضيات، بل في الفكر والمنطق. على أية حال إنَّ إبتكار وإستخدام الأرقام وبالتالي الأعداد ظهر وتطور في أماكن مختلفة من بلدان العالم وبشكل مستقل عن بعضها البعض. "وسيأتي التطرق لذلك تباعا"
المصادر:
1. (المنجد ص 275)
2. (المنجد ص 839)
3. http://www.moqatel.com/openshare/Behoth/MElmiah12/arkam/sec02.doc_cvt.htm