كتابات أخرى للكاتب على موقع الناس

السبت 11 / 10 / 2014

المسورات ومنطق الرياضيات علي عبد الواحد محمد عندما يشرع المرء في دراسة المنطق الرياضي ، كموضوع قائم بذاته ، او من ضمن دراسته للرياضيات ، سيصادف مجموعة من الرموز ، والعبارات المرافقة لهذه الرموز ، وسيجد على سبيل المثال (Ǝ س Ʉ ~ ص ) و ( Ʉ س Ǝ ~ ص ) وسيجد غيرها ، في هذه الورقة عن المسورات ومنطقها ، سيكون حديثنا للوقوف على ماهية الموضوع ، وخاصة لمن يصادفها للمرة الأولى . وستكون خطة عمل الدراسة هذه منصبة على توضيح المعاني المنطقية لما يلي : 1 : معنى العبارة 2: قيم صدق العبارة 3: الجملة الخبرية و الجملة الإنشائية 4: المسورات وقيم صدق المسورات 5: نفي المسورات وسيكون كل ذلك معززا بالأمثلة التي تعطي فكرة معقولة عن مواضيع الورقة . يقول علماء اللغات والكلام ، ان الحديث الذي يدور بين شخصين او اكثر ، ينشأ اساسا من الجملة الخبرية ومن الجملة الإنشائية ، فالجملة الخبرية ، هي جملة يوردها المتكلم ، يشرح بها ما شاهده وما سمعه من حالات ومواضيع . لاحظ المثالين التاليين : تحدث شخص ما قائلا : شاهدت محمدا يركض وهو يصرخ ، وسمعت من يقول ان هناك مسألة ما دفعته لذلك . اذن كانت حالة محمد التي شاهدها الشخص والقول الذي سمعه من احدهم هما وراء ما تمت روايته ولكن ربما يكون هذا الشخص صادقا وربما يكون كاذبا في روايته وعندما يأتي من يسأل هذا الشخص بالقول : كيف كانت حالة محمد التي رايته فيها ؟، او يقول له شخص : خبرنا عن حالة محمد التي رأيته فيها ! هنا السؤال عن حالة محمد بذاته لايحتمل الصدق او الكذب ، بغض النظر عن الجواب وكذلك الحال عند الأمر او الطلب كالقول خبرنا..... لايحتمل الصدق او الكذب . فالجملة الإنشائية إذن هي الجملة الإستفهامية او الجملة الأمرية والتي لاتحتمل الصدق او الكذب . استل علماء المنطق الرياضي الجملة الخبرية ، واطلقوا عليها اسم العبارة المنطقية ، واطلقوا على احتمالات الصدق والكذب اسم قيم صدق العبارة او قيم الصدق استنتاج 1: العبارة اما صادقة ( ص ) او كاذبة ( ك ) وتسمى ص او ك قيم الصدق استنتاج 2: في المثال : شاهدت محمدا يركض وهو يصرخ لو ان القائل اكتفى بالقول شاهدت محمدا يركض ، لكانت عبارة كاملة أو لو قال شاهدته وهو يصرخ لكانت عبارة كاملة ايضا ذلك يعني إن عبارتنا متكونة من عبارتين بينهما حرف ( و ) فالعبارة إذن اما عبارة واحدة تسمى العبارة البسيطة أو عبارتان او اكثر بينهما (بينهم) اداة او ادواة ربط وتسمى العبارة المركبة الخلاصة : العبارة على نوعين : العبارة البسيطة و العبارة المركبة الحكم المنطقي للعبارة المركبة : اوضحنا ان العبارة المركبة هي عبارات مربوطة مع بعضها بادواة ربط العبارة * تسمى كل واحدة من العبارات المربوطة ( عبارة جزئية ) * كل واحدة من هذه العبارات لها قيم صدق ( تحتمل الصدق او الكذب ) * ويالتالي يكون للعبارة المركبة قيم صدق تبعا لإداة الربط او ادواة الربط ولكي نوضح ذلك نمر مرورا سريعا على بعض انواع العبارات المركبة : العبارة المركبة ( الضم ) : هي العبارة المركبة التي تربط عباراتها الجزئية بالحرف (و) ويرمز له بالرمز (˄) . مثال : جاء حميد ماشيا و ذهب محمد بالقطار هذه العبارة المركبة تكون صادقة في حالة واحدة فقط هي مجئ حميد وذهاب محمد بالقطار في آن واحد : جاء حميد ماشيا ذهب محمد بالقطار جاء حميد ماشياوذهب محمد بالقطار حكم ˄ صادقة ( ص ) صادقة ( ص ) صادقة (ص ) صادقة (ص ) صادقة ( ص ) كاذبه ( ك ) كاذبه ( ك ) كاذبه ( ك ) كاذبه ( ك ) صادقة ( ص ) كاذبه ( ك ) كاذبه ( ك ) كاذبه ( ك ) كاذبه ( ك ) كاذبه ( ك ) كاذبه ( ك ) جدول رقم ( 1 ) عند ملاحظة الجدول رقم ( 1 ) نلاحظه يقسم الى اربعة حقول عمودية والى خمسة حقول افقية الحقل العمودي الأول يمثل العبارة الجزئية الأولى وقيم صدقها ، والحقل العمودي الثاني يمثل العبارة الجزئية الثانية وقيم صدقها هنا نلاحظ ان قيم الصدق للعبارتين الجزئيتين لها اربعة احتمالات احتمالان صادقان واحتمالان كاذبان موزعة حسب التوافيق والتباديل . الحقل العمودي الثالث يحوي العبارة المركبة وقيم صدقها ، التي كانت صادقة في حالة واحدة وهي الحالة التي تكون فيها العبارتان الجزئيتان صادقتين . لو عبرنا عن العبارة المركبة السابقة بالرموز : نفرض ان : جاء حميد ماشيا Ξ م ( الرمز Ξ يعني يكافئ او ينطبق على ) ذهب محمد بالقطار Ξ ع اذن العبارة جاء حميد ماشيا وذهب محمد بالقطار Ξ م ˄ ع إذن الجدول سيكون : م ع م ˄ ع ص ص ص ص ك ك ك ص ك ك ك ك جدول رقم ( 2 ) وهناك عبارات مركبة اخرى هي العطف وتكون مربوطة بالحرف ( أو ) ولها قيم صدق تختلف ، والعبارة الشرطية ، التي تكون على شكل : إذا كان .......... فإن مثل : إذا كانت الشمس غدا مشرقة فسأذهب الى الحديقة وبالتأكيد لها قيم صدق اخرى وهكذا ،اؤكد مرة ثانية إن القصد من هذا المرور السريع هو فقط لإعطاء فكرة عن العبارة المركبة وكيفية التعامل معها ،وسنعاود المرور عليها في الأسطر القادمة . النفي : في المنطق وبالذات في المنطق الرياضي يولى اهتمام كبير لقضية النفي ، والنفي هو احد طرق البرهان المنطقي ،وعندما يتم نفي العبارة تتحول العبارة الى نقيضها ، فنفي العبارة الصادقة يحولها الى عبارة كاذبة وبالعكس فإن نفي العبارة الكاذبة يحولها الى عبارة صادقة عند استخدام الصيغة اللغوية في نفي العبارة ، تستخدم ( لا ) او ( ليس ) او اي اداة نفي اخرى. وفي الرموز يرمز الى النفي بالعلامة ( ~ ) وفي بعض الكتب يرمز لها بعلامة ( - ) فيكون لدينا ~ ص Ξ ك ، ~ ك Ξ ص لاحظ المثال السابق : جاء حميد ماشيا و ذهب محمد بالقطار نفرض ان جاء حميد ماشيا Ξ م ذهب محمد بالقطار Ξ ع إذن العبارة Ξ م ˄ ع نفي العبارة Ξ ما ( جاء حميد ماشيا وذهب محمد بالقطار ) Ξ ~ (م ˄ ع ) لو اوجدنا قيم صدق العبارة المنفية نلاحظ ما يلي من جدول رقم ( 2 ) م ع م ˄ ع ص ص ص ص ك ك ك ص ك ك ك ك لنقارن الآن مابين م ˄ ع ، ~ ( م ˄ ع ) م˄ ع  ~ ( م ˄ ع )   ص ك ك ص ك ص ك ص جدول رقم ( 4 ) من مشاهدة جدول رقم (4) ، نلاحظ ان قيم صدق العبارة قد تغيرت واصبحت عبارة اخرى، وهذه هي اهمية النفي في برهان التناقض ( وقد مر في مادة الهندسة المستوية والمجسمة عدد من البراهين التي سميت في كتاب الهندسة برهان عكس المطلوب ) المسورات : المدخل : المسورات هي عبارات في المنطق الرياضي ، فهي بالأضافة الى ميزاتها الخاصة كمسورات ، تملك ايضا ميزات العبارة الرياضية ( لها قيم صدق ، ولها إمكانية النفي ) سميت المسورات لأنها تحيط يالكائن الرياضي ( من الرياضيات ) ، كما يحيط السوار يالمعصم وهي على نوعين المسورات الكلية : وهي المسورات التي تبحث منطقيا في الأحكام المنطقية للجماعات ، ويرمز لها بالمز Ʉ وتقرأ ( كل ) او ( لكل ) مثال : لكل شخص حياته الخاصة المسورات الجزئية : هي المسورات التي تبحث الأحكام المنطقية للحالات الفردية ويرمز لها بالرمز Ǝ وتقرأ (يوجد ) في المنطق تكون المسورات متلازمة مع بعضها البعض ، فالمسورة الكلية تستلزم وجود المسورة الجزئية معها في نفس العبارة ، والمسورة الجزئية تستلزم وجود المسورة الكلية ، معها في نفس العبارة . لو لاحظنا المثال اعلاه : لكل شخص حياته الخاصة ، نجد ان المثال ( العبارة ) ، مقسوم الى جزئين هما الجزء الأول : لكل شخص وهو عبارة عن مسورة كلية لإنها تتحدث عن كل الأشخاص ، والجزء الثاني : حياته الخاصة وهي مسورة جزئية لإنها تتحدث عن وجود الحياة الخاصة للشخص الواحد . سنحول هذا المثال الى لغة الرموز لكلΞ Ʉ شخص Ξ ب حياة خاصة Ξ ج الضمير هاء المتصل بحياة Ξ Ǝ إذن تكون العبارة لكل شخص حياته الخاصة Ξ Ʉ ب Ǝ ج مثال عن المسورة الجزئية : يوجد مكان واحد لكل هؤلاء الواقفين يوجد مكان واحد Ξ Ǝ ب لكل هؤلاء الواقفين Ξ Ʉ ج يوجد مكان واحد لكل هؤلاء الواقفين Ξ Ǝ ب Ʉ ج المزيد من الأمثلة: *) جد الصورة الرمزية للعبارة : توجد خطة مدروسة لكل التخلف الموجود لتطويره الحل : نفرض العبارة "خطة مدروسة" Ξ ب نفرض العبارة "التخلف الموجود لتطوير" Ξ ج إذن الصيغة الرمزية للعبارة Ξ Ǝ ب Ʉ ج *) لكل سيارات الأجرة يوجد ركاب الحل : العبارة تكون Ξ Ʉ ب Ǝ ج *) هناك بعض الأمثلة حلها يكون بعد ايجاد المعنى المرادف والذي يحوي المسورتين : مثال : كل الطرق تؤدي الى روما الحل : كل الطرق تؤدي الى روما Ξ لكل الطرق توجد مدينة روما تؤدي لها اكمل الحل لاحظ الأمثلة التالية : كل الساعات مصنوعة لقياس الزمن كل جوز كروي الشكل يوجد نهر مياهه تصعد المرتفعات كل الأطفال يبعثون البهجة في النفس توجد زهرة تعيش في الصحراء رائحتها كريهه كل رداء يرتديه المرء جميل في الأمثلة السابقة نلاحظ ان المسورة في العبارة الجزئية الثانية غير واضحة ، يمكننا التعامل معها كما لو كانت واضحة الوجود . نفي المسورات : *) نفي المسورات الكلية : المسورة الكلية والتي صيغتها Ʉ ب Ǝ ج حيث Ʉ Ξ رمز المسورة الكلية ب Ξ العبارة الجزئية الأولى Ǝ Ξ رمز المسورة الجزئية ج Ξ العبارة الجزئية الثانية إذا إن نفي المسورة الكلية Ξ ~ ( Ʉ ب Ǝ ج ) لإ يجاد المكافئ المنطقي للعبارة الأخيرة ~ ( Ʉ ب Ǝ ج ) نأخذ المثال التالي مثال : جد نفي العبارة كل البجعات بيضاء الحل : كل البجعات بيضاء Ξ كل بجعة توجد لونها ابيض نفي ( كل البجعات بيضاء ) Ξ نفي ( كل بجعة توجد لونها ابيض ) Ξ ~ ( Ʉ ب Ǝ ج ) لو قلنا انه توجد بجعة واحدة فقط ليست بيضاء ، نكون قد حصلنا على المكافئ المنطقي لنفي المسورة الكلية ( كل البجعات بيضاء ) ولكن توجد بجعة واحدة ليست بيضاء Ξ Ǝ ب Ʉ ~ ج إذا ~ ( Ʉ ب Ǝ ج ) Ξ Ǝ ب Ʉ ~ ج *) نفي المسورات الجزئية : المسورة الجزئية تكون بالصيغة ( Ǝ ب Ʉ ج ) حيث ان : Ǝ Ξ رمز المسورة الجزئية ب Ξ العبارة الجزئية الأولى Ʉ Ξ رمز المسورة الكلية ج Ξ العبارة الجزئية الثانية إذا إن نفي المسورة الجزئية Ξ ~ ( Ǝ ب Ʉ ج ) المثال التالي يوضح لنا كيفية ايجاد المكافئ المنطقي لنفي المسورة الجزئية مثال : جد نفي العبارة توجد سمكة كبيرة في الحوض الحل : نفي العبارة توجد سمكة كبيرة في الحوض Ξ لا توجد سمكة كبيرة في الحوض Ξ كل الآسماك التي في الحوض ليست كبيرة ( التي في الحوض Ξ الموجودة ) Ξ Ʉ ب Ǝ ~ ج إذا ~ ( Ǝ ب Ʉ ج ) Ξ Ʉ ب Ǝ ~ ج الخلاصة : المسورة الكلية : صيغتها Ʉ ب Ǝ ج المسورة الجزئية : صيغتها Ǝ ب Ʉ ج نفي المسورة الكلية ~ ( Ʉ ب Ǝ ج ) Ξ Ǝ ب Ʉ ~ ج ************ نفي المسورة الجزئية ~ ( Ǝ ب Ʉ ج ) Ξ Ʉ ب Ǝ ~ ج ************